混叠（aliasing）是数字信号处理中的一个核心概念，它发生在降低采样率（即降采样） 时，如果处理不当，高频信号会混入低频信号中，导致失真。

1. 采样率和奈奎斯特定理

采样率（Sampling Rate）：信号每秒被采集的次数，单位是赫兹（Hz）。

例如，采样率为 44.1 kHz，表示每秒对信号采集 44100 次。

奈奎斯特频率（Nyquist Frequency）：采样率的一半，定义为信号可以被准确表示的最高频率。

如果采样率是 fsf_sfs​，那么奈奎斯特频率为 fs/2f_s / 2fs​/2。超过奈奎斯特频率的信号会无法准确表示，这种现象就是混叠。

奈奎斯特定理：

如果信号中包含的频率分量超过奈奎斯特频率，这些分量会以错误的方式“折叠”到较低频率范围，产生混叠。

2. 混叠的概念

假设我们有一个原始信号，频率范围是 0∼100 \sim 100∼10 kHz，采样率是 20 kHz（奈奎斯特频率为 10 kHz）。

如果直接将采样率降低到 8 kHz（奈奎斯特频率变为 4 kHz），信号中 4∼104 \sim 104∼10 kHz 的高频分量将无法正确表示。这些高频分量会“折叠”到低频范围，导致失真。

混叠现象（aliasing）的过程：

折叠现象：

高频分量会被重新映射到低频：

falias=∣f−n⋅fs∣

f_{\text{alias}} = |f - n \cdot f_s|

falias​=∣f−n⋅fs​∣

其中 nnn 是整数，fsf_sfs​ 是采样率，fff 是信号频率。比如一个信号频率 f=6f = 6f=6 kHz，在采样率降到 8 kHz 时会被折叠到 falias=∣6−8∣=2f_{\text{alias}} = |6 - 8| = 2falias​=∣6−8∣=2 kHz。

失真表现：

折叠后的高频信号会混入低频部分，导致失真和错误的频率成分。

3. 如何避免混叠？

在降低采样率之前，需要对信号进行抗混叠处理。最常见的方法是使用低通滤波器去除高频分量。

步骤：

设计低通滤波器：

截止频率设置为新采样率的奈奎斯特频率（即新采样率的一半）。例如，将采样率降到 8 kHz，奈奎斯特频率是 4 kHz，那么低通滤波器的截止频率应该是 4 kHz。

滤除高频信号：

低通滤波器将信号中高于 4 kHz 的部分衰减至接近 0。

降采样：

滤波后，信号的频率范围已经符合新采样率的要求，可以安全地降低采样率。

4. 举例说明

假设一个语音信号，原始采样率为 44.1 kHz，频率范围是 0∼22.050 \sim 22.050∼22.05 kHz。现在需要降采样到 16 kHz。

问题：

降采样后，新奈奎斯特频率为 8 kHz。信号中 8∼22.058 \sim 22.058∼22.05 kHz 的频率分量会混叠到 0∼80 \sim 80∼8 kHz，造成失真。

解决方案：

使用低通滤波器：

截止频率设为 8 kHz，去掉高于 8 kHz 的频率分量。

降采样：

滤波后的信号仅包含 0∼80 \sim 80∼8 kHz 的频率成分，可以安全地以 16 kHz 的采样率表示。

5. 图示说明

（1）未滤波直接降采样的混叠：

原始信号频谱：

0∼22.050 \sim 22.050∼22.05 kHz。降采样后：

8∼22.058 \sim 22.058∼22.05 kHz 的高频成分会折叠到低频，造成信号失真。

（2）经过滤波器处理的降采样：

原始信号频谱：

0∼22.050 \sim 22.050∼22.05 kHz。低通滤波后：

剩余 0∼80 \sim 80∼8 kHz 的频率分量。降采样：

没有混叠，信号保持清晰。

6. 总结

混叠发生在降采样时，因为高频信号无法在新采样率下正确表示。通过低通滤波器将高频信号去除，可以避免混叠。整个过程确保降采样后的信号依然清晰、不失真。